【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1 , M是AB的中點(diǎn),△A1MC1是等腰三角形,D為CC1的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn).
(1)若DE∥平面A1MC1 , 求
(2)求直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成角的余弦值.

【答案】
(1)解:取BC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,C1N,

∵M(jìn),N分別為AB,CB中點(diǎn)

∴MN∥AC∥A1C1,

∴A1,M,N,C1四點(diǎn)共面,

且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N,

又DE∩平面BCC1B1,

且DE∥平面A1MC1,∴DE∥C1N,

∵D為CC1的中點(diǎn),∴E是CN的中點(diǎn),


(2)解:連結(jié)B1M,

因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1為直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,

∴AA1⊥AB,即四邊形ABB1A1為矩形,且AB=2AA1,

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴B1M⊥A1M,

又A1C1⊥平面ABB1A1,

∴A1C1⊥B1M,從而B(niǎo)1M⊥平面A1MC1,

∴MC1是B1C1在平面A1MC1內(nèi)的射影,

∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M,

又B1C1∥BC,

∴直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角

設(shè)AB=2AA1=2,且三角形A1MC1是等腰三角形

,則MC1=2, ,

∴cos =

∴直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為


【解析】(1)取BC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,C1N,由已知得A1 , M,N,C1四點(diǎn)共面,由已知條件推導(dǎo)出DE∥C1N,從而求出 .(2)連結(jié)B1M,由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形,B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M,由此能求出直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成的角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)和空間角的異面直線(xiàn)所成的角,需要了解一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行;已知為兩異面直線(xiàn),A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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單價(jià)x/

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷(xiāo)量y/

90

84

83

80

75

68

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