Question

14．已知a＞0，函數(shù)f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|．
（1）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）求不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集；
（3）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=0，可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)x＞a時(shí)，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，當(dāng)0＜x≤a時(shí)，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：-$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，解得不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集；
（3）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分類(lèi)討論，可得g（a）的表達(dá)式．

解答 解：（1）令f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=0，
則x=a，
∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為a；
（2）∵x＞0，a＞0，
∴x+2a＞0，
當(dāng)x＞a時(shí)，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，
解得：x∈（a，4a），
當(dāng)0＜x≤a時(shí)，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：-$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，
解得：x∈（0，a]，
綜上可得：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集為（0，4a）；
（3）函數(shù)f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{x-a}{x+2a}，0≤x≤a\\ \frac{x-a}{x+2a}，x＞a\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{-3a}{（x+2a）^{2}}，0≤x≤a\\ \frac{3a}{（x+2a）^{2}}，x＞a\end{array}\right.$，
故函數(shù)f（x）在[0，a]上為減函數(shù)，在[a，+∞）上為增函數(shù)，
又由f（0）=f（4a）=$\frac{1}{2}$，
故4∈[0，4a]，即a≥1時(shí)，g（a）=f（0）=$\frac{1}{2}$，
4∈（4a，+∞），即0＜a＜1時(shí)，g（a）=f（4）=$\frac{4-a}{4+2a}$．
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}，a≥1\\ \frac{4-a}{4+2a}，0＜a＜1\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．