分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷當x≥1時,函數(shù)的單調(diào)性,即可得到最小值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論,對任意的正整數(shù)k,2ln(k+1)+$\frac{1}{k(k+1)}$-1>0,即2ln(k+1)>1-($\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$),運用累加法,即可得證.
解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=$\frac{2}{x+1}$-$\frac{2x+1}{{{x}^{2}(x+1)}^{2}}$=$\frac{({2x}^{3}-1)+2x(x-1)}{{{x}^{2}(x+1)}^{2}}$,
當x≥1時,f′(x)>0,即f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=2ln2-$\frac{1}{2}$;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,對任意的實數(shù)x≥1,2ln(x+1)+$\frac{1}{x(x+1)}$-1≥2ln2-$\frac{1}{2}$>0恒成立,
對任意的正整數(shù)k,2ln(k+1)+$\frac{1}{k(k+1)}$-1>0,即2ln(k+1)>1-($\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$),
則有2ln2>1-(1-$\frac{1}{2}$),2ln3>1-($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$),…,2lnn>1-( $\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$).
累加可得2ln2+2ln3+…+2lnn>n-1-(1-$\frac{1}{n}$)=$\frac{{(n-1)}^{2}}{n}$,
即有l(wèi)n1+ln2+ln3+…+lnn>$\frac{{(n-1)}^{2}}{2n}$(n∈N*且n≥2).
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)性,同時考查不等式的證明,注意運用已知結(jié)論和累加法,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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