Question

5．在平面直角坐標系xOy中，動點S到點F（1，0）的距離與到直線x=2的距離的比值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求動點S的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設點P是x軸上的一個動點，過P作斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直線l交軌跡E于A，B兩點，求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)橢圓第二定義列方程組解出；
（II）求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓方程化簡，根據(jù)參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關系計算：|PA|²+|PB|²．

解答 解：（I）由橢圓的定義可知動點S的軌跡為以F為右焦點，以直線x=2為準線的橢圓，
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=2}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
∴軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）證明：設直線l的傾斜角為α，則tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
設P（x₀，0），則直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$，
代入為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1得4t²+2$\sqrt{6}$x₀t+3（x₀²-2）=0，
設方程兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=-$\frac{\sqrt{6}{x}_{0}}{2}$，t₁t₂=$\frac{3（{{x}_{0}}^{2}-2）}{4}$，
∴|PA|²+|PB|²=t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=$\frac{3}{2}$x₀²-$\frac{3}{2}$（x₀²-2）=3．
∴：|PA|²+|PB|²為定值3．

點評 本題考查了橢圓的定義和性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．