Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點．
（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．再由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AC，進一步得AC⊥平面PBC．由面面垂直的判定可得平面EAC⊥平面PBC；
（2）取AB中點F，以C為原點，CF，CD，CP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，然后求出平面PAC與平面EAC的法向量利用兩法向量所成角的余弦值求二面角P-AC-E的余弦值．

解答 （1）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=4，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+（4-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，則AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，得AC⊥平面PBC．
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC；
（2）取AB中點F，如圖所示，
以C為原點，CF，CD，CP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0），P（0，0，4），E（1，-1，2），
∴$\overrightarrow{CA}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{CP}=（0，0，4）$，$\overrightarrow{CE}=（1，-1，2）$．
設平面PAC的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{m}=（1，-1，0）$；
設平面EAC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}=（1，-1，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即二面角P-AC-E的余弦值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．