Question

19．如表，將數(shù)字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一個2行n列的表格中，每格填一個數(shù)字．第一行填入的數(shù)字依次為a₁，a₂，…，a_n，第二行填入的數(shù)字依次為b₁，b₂，…，b_n．
記${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}=\;|{a_1}-{b_1}|+|{a_2}-{b_2}|+…+|{a_n}-{b_n}|$．

a1	a2	…	an
b1	b2	…	bn

（Ⅰ）當n=3時，若a₁=1，a₂=3，a₃=5，寫出S₃的所有可能的取值；
（Ⅱ）給定正整數(shù)n．試給出a₁，a₂，…，a_n的一組取值，使得無論b₁，b₂，…，b_n填寫的順序如何，S_n都只有一個取值，并求出此時S_n的值；
（Ⅲ）求證：對于給定的n以及滿足條件的所有填法，S_n的所有取值的奇偶性相同．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)新定義計算即可，
（Ⅱ）a_i=i（i=1，2，…，n），則無論b₁，b₂，…，b_n填寫的順序如何，都有${S_n}={n^2}$，根據(jù)新定義求出即可，
（Ⅲ）方法一：交換每一列中兩個數(shù)的位置，所得的S_n的值不變，不妨設(shè)a_i＞b_i，記$A=\sum_{i=1}^n{a_i}$，$B=\sum_{i=1}^n{b_i}$，求出S_n=A-B，即可證明，
方法二：考慮如下表所示的任意兩種不同的填法，①若在兩種填法中k都位于同一行，②若在兩種填法中k位于不同行，即可證明

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a₂=3，a₃=5，
∴b₁，b₂，b₃值為2，4，6
∴S₃=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|=|1-b₁|+|3-b₂|+|5-b₃|，
∴S₃的所有可能的取值為3，5，7，9．
（Ⅱ） 令a_i=i（i=1，2，…，n），則無論b₁，b₂，…，b_n填寫的順序如何，都有${S_n}={n^2}$．
因為 a_i=i，
所以 b_i∈{n+1，n+2，…，2n}，（i=1，2，…，n）．
因為 a_i＜b_i（i=1，2，…，n），
所以 ${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}=\sum_{i=1}^n{（{b_i}-{a_i}）}=\sum_{i=1}^n{b_i}-\sum_{i=1}^n{a_i}=\sum_{i=n+1}^{2n}i-\sum_{i=1}^ni={n^2}$．
注：{a₁，a₂，…，a_n}={1，2，…，n}，或{a₁，a₂，…，a_n}={n+1，n+2，…，2n}均滿足條件．
（Ⅲ）解法一：顯然，交換每一列中兩個數(shù)的位置，所得的S_n的值不變．
不妨設(shè)a_i＞b_i，記$A=\sum_{i=1}^n{a_i}$，$B=\sum_{i=1}^n{b_i}$，其中i=1，2，…，n．
則 ${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}=\sum_{i=1}^n{（{a_i}-{b_i}）}=\sum_{i=1}^n{a_i}-\sum_{i=1}^n{b_i}=A-B$．
因為 $A+B=\sum_{i=1}^{2n}i=\frac{2n（2n+1）}{2}=n（2n+1）$，
所以 A+B與n具有相同的奇偶性．
又因為 A+B與A-B具有相同的奇偶性，
所以 S_n=A-B與n的奇偶性相同，
所以 S_n的所有可能取值的奇偶性相同．
解法二：顯然，交換每一列中兩個數(shù)的位置，所得的S_n的值不變．
考慮如下表所示的任意兩種不同的填法，${S_n}=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$，${S'_n}=\sum_{i=1}^n{|{{a'}_i}-{{b'}_i}|}$，不妨設(shè)a_i＜b_i，a'_i＜b'_i，其中 i=1，2，…，n．

a1	a2	…	an		${a_1}^′$	${a_2}^′$	…	${a_n}^′$
b1	b2	…	bn		${b_1}^′$	${b_2}^′$	…	${b_n}^′$

${S_n}+{S'_n}=\sum_{i=1}^n{（{b_i}-{a_i}）}+\sum_{i=1}^n{（{{b'}_i}-{{a'}_i}）}=（\sum_{i=1}^n{b_i}+\sum_{i=1}^n{{{b'}_i}}）-（\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{{{a'}_i}}）$．
對于任意k∈{1，2，…，2n}，
①若在兩種填法中k都位于同一行，
則k在S_n+S'_n的表達式中或者只出現(xiàn)在$\sum_{i=1}^n{b_i}+\sum_{i=1}^n{{{b'}_i}}$中，或只出現(xiàn)在$\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{{{a'}_i}}$中，且出現(xiàn)兩次，
則對k而言，在S_n+S'_n的結(jié)果中得到±2k．
②若在兩種填法中k位于不同行，
則k在S_n+S'_n的表達式中在$\sum_{i=1}^n{b_i}+\sum_{i=1}^n{{{b'}_i}}$與$\sum_{i=1}^n{a_i}+\sum_{i=1}^n{{{a'}_i}}$中各出現(xiàn)一次，
則對k而言，在S_n+S'_n的結(jié)果中得到0．
由 ①②得，對于任意k∈{1，2，…，2n}，S_n+S'_n必為偶數(shù)．
所以，對于表格的所有不同的填法，S_n所有可能取值的奇偶性相同．

點評 本題考查了新定義的應(yīng)用，以及數(shù)列求和問題，考查了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，屬于難題．