Question

13．在圓x²+y²=5x內(nèi)，過點 （${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）有n條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項a₁，最大弦長為a_n，若公差d∈[${\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}}$]，那么n的取值集合為（　�。�

• A． {4，5，6，7}
• B． {4，5，6}
• C． {3，4，5，6}
• D． {3，4，5，6，7}

Answer 1

分析 先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計算出過點（${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）的最短弦長和最長弦長，即等差數(shù)列的第一項和第n項，再根據(jù)等差數(shù)列的公差d∈[${\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}}$]，求出n的取值集合．

解答 解：將圓x²+y²=5x轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$，則圓心為C（$\frac{5}{2}$，0），半徑為r=$\frac{5}{2}$，
過點P（${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）最短弦的弦長為a₁=2 $\sqrt{{r}^{2}-丨PC{丨}^{2}}$=4
過點P ${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）最長弦長為圓的直徑長a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，
d=$\frac{1}{n-1}$，
∵d∈[${\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}}$]，
∴${\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{n-1}$＜$\frac{1}{3}}$，
∴4≤n≤7．
∴n的取值為：4，5，6，7
故選A．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式等知識，解題時要學(xué)會使用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的弦長問題，考查計算能力，屬于中檔題．