1．如圖直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形，E、F分別是BC，CC1的中點(diǎn)，
（1）證明：平面AEF⊥平面B1BCC1
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，∠CA1D=45°，求三棱錐F-AEC的體積．

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解．

解答 證明：（1）因?yàn)锳E⊥BB1，AE⊥BC，
所以AE⊥面B1BCC1，而AE?面AEF，
所以面AEF⊥面B1BCC1（6分）
（2）取AB中點(diǎn)D，連接A1D，CD，由題知∠CA1D=45°，
所以${A_1}D=CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=2\sqrt{3}$，
在Rt$△A{A_1}D中，AA{\;}_1=\sqrt{{A_1}{D^2}-A{D^2}}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$（9分）
所以FC=$\sqrt{2}$，故體積V=$\frac{1}{3}{S_{△AEC}}×CF=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判定以及空間幾何體的體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理和體積公式是解決本題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．下列說法錯(cuò)誤的是（　�。�
A．設(shè)p：f（x）=x3+2x2+mx+1是R上的單調(diào)增函數(shù)，$q：m≥\frac{4}{3}$，則p是q的必要不充分條件
B．若命題$p：?{x_0}∈R，x_0^2-{x_0}+1≤0$，則￢p：?x∈R，x2-x+1＞0
C．奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且f（x-1）=-f（x），那么f（8）=0
D．命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個(gè)不為0，則x2+y2≠0”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．某家電專賣店試銷A，B，C三種新型空調(diào)，銷售情況記錄如下：
第一周第二周第三周第四周第五周
A型數(shù)量（臺(tái)）101015A4A5
B型數(shù)量（臺(tái)）101213B4B5
C型數(shù)量（臺(tái)）15812C4C5
（1）求A型空調(diào)前三周的平均周銷售量；
（2）為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店前三周售出的所有空調(diào)中隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽到的空調(diào)“是B型空調(diào)或是第一周售出空調(diào)”的概率；
（3）根據(jù)C型空調(diào)連續(xù)3周銷售情況，預(yù)估C型空調(diào)連續(xù)5周的平均周銷量為10臺(tái)．當(dāng)C型空調(diào)周銷售量的方差最小時(shí)，求C4，C5的值．
參考公式：
樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是：${s^2}=\frac{1}{n}[{（{x_1}-\overline x）^2}+{（{x_2}-\overline x）^2}+…+{（{x_n}-\overline x）^2}]$，其中$\overline x$為樣本平均數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．如圖直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形，E、F分別是BC，CC1的中點(diǎn)，
（1）證明：平面AEF⊥平面B1BCC1．
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，∠CA1D=45°，求平面CA1D與平面ABC所成的銳二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x+y≤2}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$，則z=3x+y的最大值為6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的x1，x2∈R（x1≠x2），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，則（　�。�
A．f（3）＜f（-2）＜f（1）B．f（1）＜f（-2）＜f（3）C．f（-2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（-2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn=$\frac{2}{3}$an+$\frac{1}{3}$，則{an}的通項(xiàng)公式${a}_{n}=（-2）^{n-1}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．若兩點(diǎn)A（x，5-x，2x-1），B（1，x+2，2-x），當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|取最小值時(shí)，x的值等于$\frac{8}{7}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．設(shè)直線系M：xcosθ+（y-1）sinθ=1（0≤θ≤2π），對(duì)于下列說法：
（1）M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；
（2）存在一個(gè)圓與所有直線不相交；
（3）對(duì)于任意整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；
（4）M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中說法正確的是（2）、（3） （填序號(hào)）．

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