【題目】設(shè),若存在,使得,且對(duì)任意,均有(即是一個(gè)公差為的等差數(shù)列),則稱數(shù)列是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”.

(1)判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”,并說明理由.

①1,3,5,7,9,11;

②2,,.

(2)證明:若,則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.

(3)對(duì)任意給定的正整數(shù),若,是否總存在正整數(shù),使得等比數(shù)列:是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”?若存在,給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由

【答案】(1)①是,②不是,理由見解析

(2)證明見解析

(3)存在,證明見解析

【解析】

1)①舉出符合條件的具體例子即可;②反證法推出矛盾;
2)根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可;
3)首先,根據(jù),將公差表示出來,計(jì)算任意相鄰兩項(xiàng)的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于.那么用裂項(xiàng)相消的方法表示出,結(jié)合相鄰兩項(xiàng)差值不大于可以得到,接下來,只需證明存在滿足條件的即可.用和公差表示出,并展開可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)為,而已知,因此足夠大時(shí)顯然成立.結(jié)論得證.

解:(1)數(shù)列1,35,7,911弱等差數(shù)列
分別為1,3,5,7,9,1113即可;
數(shù)列②2,,不是弱等差數(shù)列
否則,若數(shù)列弱等差數(shù)列,則存在實(shí)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為
,

矛盾,

所以數(shù)列②2,,,,不是弱等差數(shù)列;
2)證明:設(shè),
,取,則,


,

就有,命題成立.
故數(shù)列弱等差數(shù)列

3)若存在這樣的正整數(shù),使得
成立.
因?yàn)?/span>,
,其中待定.

從而,

,

當(dāng)時(shí),總成立.
如果取適當(dāng)?shù)?/span>,使得,又有

所以,有

為使得,需要,
上式左側(cè)展開為關(guān)于的多項(xiàng)式,最高次項(xiàng)為,其次數(shù)為
故,對(duì)于任意給定正整數(shù),當(dāng)充分大時(shí),上述不等式總成立,

即總存在滿足條件的正整數(shù),使得等比數(shù)列:是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合,若的子集,把中的所有數(shù)的和稱為容量(規(guī)定空集的容量為0),若的容量為奇(偶)數(shù),則稱的奇(偶)子集,命題①:的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等;命題②:當(dāng)時(shí),的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等,則下列說法正確的是(

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,bsinA=cosB.

1)求角B的大小;

2)若b=2,ABC的面積為,求ac.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若數(shù)列對(duì)任意滿足,下面給出關(guān)于數(shù)列的四個(gè)命題:①可以是等差數(shù)列,②可以是等比數(shù)列;③可以既是等差又是等比數(shù)列;④可以既不是等差又不是等比數(shù)列;則上述命題中,正確的個(gè)數(shù)為(

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)軸時(shí),的面積為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線的斜率分別為、,證明:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是,,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為.

1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

2)若過點(diǎn)的直線交動(dòng)點(diǎn)的軌跡于、兩點(diǎn), 為線段,的中點(diǎn),求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)滿足,且時(shí),成立,若對(duì)恒成立.

1)判斷的單調(diào)性和對(duì)稱性;

2)求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(江淮十校2017屆高三第一次聯(lián)考文數(shù)試題第7題)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=1/2(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,半徑等于4米的弧田.按照上述方法計(jì)算出弧田的面積約為( )

A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在上的偶函數(shù)上單調(diào)遞減,若不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范是( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案