4.在直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)$(-2\sqrt{2},0)$、$(2\sqrt{2},0)$的距離之和等于6,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,直線x-my-1=0與曲線C交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求m的值;
(Ⅲ)當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),△AOB的面積最大,并求出面積的最大值.

分析 (I)利用橢圓的定義即可得出.
(II)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去x并整理得(m2+9)y2+2my-8=0,判別式△>0,以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$,可得x1x2+y1y2=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出.
(III)直線x-my-1=0與x軸相交于點(diǎn)M(1,0),可得S△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$.利用$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=$({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(Ⅰ)由已知可得,點(diǎn)P的軌跡C是以$(-2\sqrt{2},0)$、$(2\sqrt{2},0)$為焦點(diǎn),長半軸為3的橢圓.
它的短半軸$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{9-8}=1$,
故曲線C的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+9{y^2}=9\\ x=my+1\end{array}\right.$,消去x并整理得(m2+9)y2+2my-8=0,
判別式△>0,∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+9}}$,${y_1}•{y_2}=-\frac{8}{{{m^2}+9}}$.
若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$,∴x1x2+y1y2=0.${x_1}•{x_2}=(m{y_1}+1)(m{y_2}+1)={m^2}•{y_1}{y_2}+m•({y_1}+{y_2})+1$,${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=({m^2}+1)•{y_1}{y_2}+m•({y_1}+{y_2})+1=({m^2}+1)•(-\frac{8}{{{m^2}+9}})+m•(-\frac{2m}{{{m^2}+9}})+1$.
∴$({m^2}+1)•(-\frac{8}{{{m^2}+9}})+m•(-\frac{2m}{{{m^2}+9}})+1=0$$⇒-8({m^2}+1)-2{m^2}+({m^2}+9)=0⇒-9{m^2}+1=0⇒m=±\frac{1}{3}$.
(III)直線x-my-1=0與x軸相交于點(diǎn)M(1,0),∴S△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$.
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=$({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$=$(-\frac{2m}{{m}^{2}+9})^{2}$-4×$\frac{-8}{{m}^{2}+9}$=$\frac{36({m}^{2}+8)}{({m}^{2}+9)^{2}}$=$36[-(\frac{1}{{m}^{2}+9})^{2}+\frac{1}{{m}^{2}+9}]$,令$\frac{1}{{m}^{2}+9}$=t∈$(0,\frac{1}{9}]$,
則$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=36$[-(t-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}]$,當(dāng)t=$\frac{1}{9}$時(shí),$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$取得最大值$\frac{36×8}{81}$,∴|y1-y2|的最大值為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
∴△AOB的面積的最大值為:$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.由$\frac{1}{{m}^{2}+9}=\frac{1}{9}$,解得m=0.
即m=0時(shí),△AOB的面積的最大值為:$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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