19.已知圓$C:{(x+\sqrt{3})^2}+{y^2}=16,點(diǎn)A(\sqrt{3},0)$,Q是圓上一動(dòng)點(diǎn),AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.
(I)求軌跡E的方程;
(II)過(guò)點(diǎn)A作圓x2+y2=1的切線l交軌跡E于B,D兩點(diǎn),求|BD|的值.

分析 (Ⅰ)先根據(jù)橢圓的定義,確定軌跡E是以A,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,再寫(xiě)出橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)切線l的方程為y=k(x-$\sqrt{3}$),代入橢圓方程,由l與圓x2+y2=1相切,得$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,即2k2=1,由此,即可求|BD|的值.

解答 解:(Ⅰ)由題意得|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2$\sqrt{3}$,
∴軌跡E是以A,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓…(2分)
∴軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1…(4分)
(Ⅱ)設(shè)切線l的方程為y=k(x-$\sqrt{3}$),代入橢圓方程,消元得(1+4k2)x2-8$\sqrt{3}$k2x+12k2-4=0.(8分)
設(shè)B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
則x1+x2=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$,
又由l與圓x2+y2=1相切,得$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,即2k2=1,
∴x1+x2=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,x1x2=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$,
所以|BD|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{\frac{16}{3}-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{66}}{3}$.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.已知函數(shù)f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{(2-a)x+3a,x<1}\\{{{log}_2}x,x≥1}\end{array}}\right.$的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(-1,2)B.[-1,2)C.(-∞,-1]D.{-1}

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10.如圖,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=2,AD=$\frac{3}{2}$,BC=$\frac{1}{2}$,橢圓以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.
(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)E滿足$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$,問(wèn)是否存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn),且|ME|=|NE|?若存在,求出直線l與AB夾角θ的正切值的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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7.設(shè)f(x)=x-alnx.(a≠0)
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)≥a2,求a的取值范圍.

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14.已知圓F1:(x+$\sqrt{3}$)2+y2=16,圓心為F1,定點(diǎn)F2($\sqrt{3}$,0),P為圓F1上一點(diǎn),線段PF2的垂直平分線與直線PF1交于點(diǎn)Q.
(1)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A和B,且滿足∠AOB<90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l斜率的取值范圍.

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4.在直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)$(-2\sqrt{2},0)$、$(2\sqrt{2},0)$的距離之和等于6,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,直線x-my-1=0與曲線C交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)若以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求m的值;
(Ⅲ)當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),△AOB的面積最大,并求出面積的最大值.

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11.已知直線l與圓C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M(0,1).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程;
(2)若以$\overrightarrow{AB}$為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,求圓C的方程.

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8.已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為$ρcos({θ-\frac{π}{4}})=2\sqrt{2}$
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離d的取值范圍.

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A.1B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.2、

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