Question

12．已知曲線C₁的方程為x²+y²=1，過平面上一點P₁作C₁的兩條切線，切點分別為A₁，B₁，且滿足∠A₁P₁B₁=$\frac{π}{3}$，記P₁的軌跡為C₂，過一點P₂作C₂的兩條切線，切點分別為A₂，B₂滿足∠A₂P₂B₂=$\frac{π}{3}$，記P₂的軌跡為C₃，按上述規(guī)律一直進行下去…，記a_n=|A_nA_n+1|_max且S_n為數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和，則滿足|S_n-$\frac{2}{3}$|＜$\frac{1}{100}$的最小的n是7．

Answer 1

分析 設P₁（x，y），則|OP₁|=2|OA₁|=2，可得方程C₂：x²+y²=4．同理可得P₂的方程C₃為：x²+y²=16．設A₁（cosθ，sinθ），A₂（2cosα，2sinα），可得|A₁A₂|=$\sqrt{5-4cos（α-θ）}$≤3=1+2，同理可得：a_n=|A_nA_n+1|_max=2^n-1+2ⁿ．可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n，代入|S_n-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{{3•2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{100}$，解得n．

解答 解：設P₁（x，y），則|OP₁|=2|OA₁|=2，
可得方程C₂：x²+y²=4．
同理可得P₂的方程C₃為：x²+y²=16．
設A₁（cosθ，sinθ），A₂（2cosα，2sinα）
|A₁A₂|=$\sqrt{（cosθ-2cosα）^{2}+（sinθ-2sinα）^{2}}$=$\sqrt{5-4cos（α-θ）}$≤3=1+2，
同理可得：a_n=|A_nA_n+1|_max=2^n-1+2ⁿ．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+{2}^{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．
數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n=$\frac{1}{3}$×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
則滿足|S_n-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{{3•2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{100}$，解得n≥7．
故答案為：7．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)形結合方法、數(shù)列遞推關系、兩點之間的距離公式、直線與圓相切的性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．