Question

8．如圖，在正四面體ABCD中，O是△BCD的中心，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CF}$=（1-λ）$\overrightarrow{CA}$
（1）若OE∥平面ACD，求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）若λ=$\frac{1}{2}$，正四面體ABCD的棱長為2$\sqrt{2}$，求平面DEF和平面BCD所成的角余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD的中點(diǎn)G，連接BG、AG，推導(dǎo)出點(diǎn)O在BG上，且$\frac{BO}{OG}=2$，當(dāng)OE∥AG時(shí)，OE∥平面ACD，從而$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，由此能求出結(jié)果．
（2）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出平面DEF和平面BCD所成的角的余弦值．

解答 解：（1）取CD的中點(diǎn)G，連接BG、AG，
∵O是正△BCD的中心，∴點(diǎn)O在BG上，且$\frac{BO}{OG}=2$，
∵當(dāng)OE∥AG時(shí)，OE∥平面ACD，
∴$\frac{BE}{EA}=\frac{BO}{OG}=2$，∴BE=$\frac{2}{3}BA$，即$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，
∵$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BA}$，∴$λ=\frac{2}{3}$．
（2）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
依題設(shè)OB=2，
則B（0，-2，0），A（0，0，2$\sqrt{2}$），C（$\sqrt{3}，1，0$），
D（-$\sqrt{3}，1，0$），
E（0，-1，$\sqrt{2}$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{3}，-2，\sqrt{2}$），
設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}x-2y+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{5}$，1），
又平面BCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
設(shè)所求二面角為θ，則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．
∴平面DEF和平面BCD所成的角的余弦值為$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查二面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．