Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前項和記為S_n，a₁=t，點（a_n+1，S_n）在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上n∈N⁺．
（1）當(dāng)實數(shù)t為何值時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若f（x）=[x]（[x]表示不超過x的最大整數(shù)），在（1）的結(jié)論下，令${b_n}=f（{log_3}{a_n}）+1，{c_n}={a_n}+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}$，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意得S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-1，根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可得到當(dāng)n≥2時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再根據(jù)a₁，即可求出t的值，
（2）根據(jù)f（x）=[x]，求出b_n=n，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和裂項求和即可求出T_n．

解答 解：（1）由題意得S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-1，
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1，
兩式相減得a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n，
即a_n+1=3a_n，
∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
要使n≥1時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
則只需要$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，
∵a₁=$\frac{1}{2}$a₂-1，
∴a₂=2a₁+2，
∴$\frac{2t+2}{t}$=3，
解得t=2，
∴實數(shù)t=2時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a_n=2•3^n-1，
（2）∵b_n=f（log₃a_n）+1=[log₃（2×3^n-1）]，
∵3^n-1＜2×3^n-1＜3ⁿ，
∴n-1＜log₃（2×3^n-1）＜n，
∴b_n=n-1+1=n，
∴c_n=a_n+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=2×3^n-1+$\frac{1}{n（n+2）}$=2×3^n-1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∵{a_n}的前n項和為$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1，
{$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$}的前n項和為$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$
∴T_n=3ⁿ-1+$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$═3ⁿ-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$-$\frac{1}{4}$

點評 本題考查了數(shù)列和函數(shù)的特征以及數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式和裂項求和，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題