6.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足1+cosA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$sinA,sin(B+C)=6cosBsinC,則$\frac{c}$的值為( 。
A.$1+\sqrt{6}$B.$1+2\sqrt{2}$C.$1+3\sqrt{2}$D.$1+3\sqrt{3}$

分析 1+cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA,sin2A+cos2A=1,聯(lián)立解得A=$\frac{2π}{3}$.由sin(B+C)=6cosBsinC,即sinA=6cosBsinC,利用正弦定理余弦定理可得:2a2=3b2-3c2.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bc$cos\frac{2π}{3}$,可得a2=b2+c2+bc.聯(lián)立解出即可得出.

解答 解:∵1+cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA,sin2A+cos2A=1,∴$sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$,cosA=-$\frac{1}{2}$,
∴A=$\frac{2π}{3}$.
∵sin(B+C)=6cosBsinC,
∴sinA=6cosBsinC,∴a=6ccosB=6c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$,化為:2a2=3b2-3c2
由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bc$cos\frac{2π}{3}$,可得a2=b2+c2+bc.
∴b2-2bc-5c2=0,
則$\frac{c}$=1+$\sqrt{6}$.
故選:A.

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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20.以下4種說法
①一個命題的否命題為真,它的逆命題也一定為真;
②$\left\{\begin{array}{l}x>1\\ y>2\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}x+y>3\\ xy>2\end{array}\right.$的充要條件;
③在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件;
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