Question

15．定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），f（0）=0若對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，則使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范圍為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． （-1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，g（0）=$\frac{0-1}{{e}^{0}}$=-1．對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）+1-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，函數(shù)g（x）在R單調(diào)遞減，利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，g（0）=$\frac{0-1}{{e}^{0}}$=-1．
∵對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，
∴g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）{e}^{x}-[f（x）-1]{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{{f}^{′}（x）+1-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴函數(shù)g（x）在R單調(diào)遞減，
由f（x）+e^x＜1化為：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$＜-1=g（0），
∴x＞0．
∴使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范圍為（0，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．