11.已知函數(shù)f(x)=ln x-$\frac{a}{x}$,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若a>0,試判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為$\frac{3}{2}$,求a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),求出導(dǎo)函數(shù),判斷f′(x)>0,證明f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)求出f′(x)=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$.通過①若a≥-1,判斷單調(diào)性求解最值;②若a≤-e,③若-e<a<-1,求出函數(shù)的最值,即可得到a的值;
(3)化簡表達(dá)式為:a>xln x-x3.令g(x)=xln x-x3,求出h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,求出導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,即可推出結(jié)果.

解答 解:(1)由題意知f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$.
∵a>0,∴f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)由(1)可知,f′(x)=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$.
①若a≥-1,則當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(1)=-a=$\frac{3}{2}$,∴a=-$\frac{3}{2}$(舍去).
②若a≤-e,則當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
∴f(x)min=f(e)=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$,∴a=-$\frac{e}{2}$(舍去).
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,
當(dāng)1<x<-a時(shí),f′(x)<0,f(x)在(1,-a)上為減函數(shù);
當(dāng)-a<x<e時(shí),f′(x)>0,f(x)在(-a,e)上為增函數(shù).
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=$\frac{3}{2}$,∴a=-$\sqrt{e}$.
綜上所述,a=-$\sqrt{e}$.
(3)由f(x)<x2,得ln x-$\frac{a}{x}$<x2
又x>0,則a>xln x-x3
令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,
則h′(x)=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-6{x}^{2}}{x}$.
∵x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0.
∴g(x)在(1,+∞)上也是減函數(shù),
∴g(x)<g(1)=-1,
∴當(dāng)a≥-1時(shí),f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法,考查構(gòu)造法以及函數(shù)恒成立的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力的考查.

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