（13分）（2011•重慶）設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常數(shù)a，b∈R．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）e﹣x．求函數(shù)g（x）的極值．

（Ⅰ）6x+2y﹣1=0（Ⅱ）g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0時(shí)取極小值g（0）=﹣3，在x=3時(shí)取極大值g（3）=15e﹣3

解析試題分析：（I）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式，易求出導(dǎo)數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，計(jì)算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點(diǎn)斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（II）根據(jù)g（x）=f′（x）e﹣1求出函數(shù)g（x）的解析式，然后求出g（x）的導(dǎo)數(shù)g'（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)后，利用零點(diǎn)分段法，分類討論后，即可得到函數(shù)g（x）的極值．
解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1
∴f（1）=﹣，
又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，
故曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．
（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x
從而有g(shù)'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x
令g'（x）=0，則x=0或x=3
∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g'（x）＞0，
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0時(shí)取極小值g（0）=﹣3，在x=3時(shí)取極大值g（3）=15e﹣3
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及方程組的求解等有關(guān)問題，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx，其中a>0，b>0.
(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x) 在它們的交點(diǎn)P(2，c)處有相同的切線(P為切點(diǎn))，求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為.
①求函數(shù)h(x)在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值M(a)；
②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，g(x)＝，它們的定義域都是(0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底e≈2.7，a∈R.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：f(m)>g(n)＋對(duì)一切m，n∈(0，e]恒成立；
(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常數(shù)．
(1)若a≠b，求證：函數(shù)f(x)存在極大值和極小值；
(2)設(shè)(1)中f(x)取得極大值、極小值時(shí)自變量的值分別為x1，x2，設(shè)點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直線AB的斜率為－，求函數(shù)f(x)和f′(x)的公共遞減區(qū)間的長(zhǎng)度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)對(duì)于一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m，a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元()時(shí)，一年的銷售量為萬件．
（1）求該分公司一年的利潤(rùn)(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大？并求出的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（14分）（2011•天津）已知函數(shù)f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)t≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求的范圍；
(3)求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù),.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，都有成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.
(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)g(x)＝，對(duì)?x1∈(0，＋∞)，?x2∈(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(3)證明： ＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)．

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