Question

8．已知a＞0，b＞0，當(dāng)（a+4b）²+$\frac{1}{ab}$取到最小值時，b=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式，$a+4b≥4\sqrt{ab}$，a=4b時取等號，進(jìn)而得出$（a+4b）^{2}+\frac{1}{ab}≥16ab+\frac{1}{ab}$，進(jìn)一步可求出a=1，$b=\frac{1}{4}$時，$（a+4b）^{2}+\frac{1}{ab}$取到最小值，即求出了此時的b的值．

解答 解：∵a＞0，b＞0；
∴$a+4b≥4\sqrt{ab}$，當(dāng)a=4b時取“=”；
∴（a+4b）²≥16ab；
∴$（a+4b）^{2}+\frac{1}{ab}≥16ab+\frac{1}{ab}$
=$4[a（4b）]+\frac{4}{a（4b）}$
8，當(dāng)$a（4b）=\frac{1}{a（4b）}$，即${a}^{2}=\frac{1}{{a}^{2}}$，a=1時取“=”；
此時，b=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 考查基本不等式，注意基本不等式等號成立的條件，不等式的性質(zhì)．