Question

15．已知a、b、c三個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，則直線bx+ay+c=0與拋物線${y^2}=-\frac{1}{2}x$的相交弦中點(diǎn)的軌跡方程是x+1=-（2y-1）²（y≠1）．．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組，用交點(diǎn)坐標(biāo)表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程化簡(jiǎn)即可．

解答 解：設(shè)直線bx+ay+c=0與拋物線${y^2}=-\frac{1}{2}x$的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2y₁²，y₁），B（-2y₂²，y₂），
把x=-2y²代入直線方程bx+ay+c=0得：-2by²+ay+c=0，
∴y₁y₂=$\frac{c}{-2b}$，y₁+y₂=$\frac{a}{2b}$，
∵a，b，c成等差數(shù)列，∴c=2b-a，
∴y₁y₂=$\frac{2b-a}{-2b}$=$\frac{a}{2b}$-1，
設(shè)AB的中點(diǎn)為P（x，y），則x=-y₁²-y₂²=-（y₁+y₂）²+2y₁y₂=-$\frac{{a}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{a}$-2，
y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{a}{4b}$，
∴x=-4y²+4y-2，即x+1=-（2y-1）²，
由△=a²+8bc=a²+8b（2b-a）=a²-8ab+16b²=（a-4b）²＞0得a≠4b，
∴y≠1．
故答案為：x+1=-（2y-1）²（y≠1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．