15.如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,記∠COP=α,矩形的面積為S;
(1)求出S與α的函數(shù)關(guān)系式,并指出α的取值范圍;
(2)求S最大值.

分析 (1)先把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角α表示出來(lái),進(jìn)而表示出矩形的面積,即可得解;
(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)后,再利用角α的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求矩形面積的最大值即可.

解答 (本小題滿(mǎn)分12分)
解:(1)在直角△OBC中,BC=sinα,OB=cosα,…(1分)
在直角△OAD中,$\frac{DA}{OA}=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$,…(2分)
所以$OA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}DA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}BC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$,…(3分)
所以$AB=OB-OA=cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$,…(4分)
所以矩形ABCD的面積$S=AB×BC=(cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα)•sinα$,$(0<α<\frac{π}{3})$…(6分)
(2)由$S=AB×BC=(cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα)•sinα=sinαcosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}α$=$\frac{1}{2}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{1-cos2α}{2}=\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$…(8分)
=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2α+\frac{1}{2}cos2α)-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin(2α+\frac{π}{6})-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$,…(10分)
∵$0<α<\frac{π}{3}$,
∴$當(dāng)2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}時(shí)$,即$α=\frac{π}{6}時(shí)$,矩形ABCD的面積S取得最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型,求解問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型,將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn),考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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5.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且單位長(zhǎng)度相同的極坐標(biāo)系中,已知直線(xiàn)l1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ+ρcosθ=1,直線(xiàn)l2的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$(ρ=R).
(1)將直線(xiàn)l1,l2化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求兩直線(xiàn)l1與l2交點(diǎn)的極坐標(biāo).

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(Ⅰ)當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),求過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)切線(xiàn)斜率的取值范圍;
(Ⅱ)求垂直于直線(xiàn)l:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}t}\\{y=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{10}}{10}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))并且與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程.

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