3.已知四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA=AB=BC=2,AD=1,SA⊥底面ABCD.
(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)求異面直線SC與AD所成角的余弦值.

分析 (1)先求出S梯形ABCD,由此能求出四棱錐S-ABCD的體積.
(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AS為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線SC與AD所成角的余弦值.

解答 解:(1)∵四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,
∠ABC=90°,AD∥BC,SA=AB=BC=2,AD=1,SA⊥底面ABCD,
∴S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$(1+2)×2=3,
∴四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×3×2$=2.
(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AS為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
C(2,2,0),S(0,0,2),A(0,0,0),D(0,1,0),
$\overrightarrow{SC}$=(2,2,-2),$\overrightarrow{AD}$=(0,1,0),
設(shè)異面直線SC與AD所成角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴異面直線SC與AD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐的體積的求法,考查異面直線所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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(1)點(diǎn)A0(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn)A1,A2均在該拋物線上,并且直線A1A2經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn),證明S2=3p;
(2)若點(diǎn)An(xn,yn)(n∈N*)要么落在y=x所表示的曲線上,要么落在y=x2所表示的曲線上,并且A0($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),試寫出$\lim_{n→+∞}$Sn(不需證明);
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