【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F(xiàn),O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ,直線l:y=kx+ 與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng) ≤k≤2時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值.

【答案】
(1)解:由題意可知F(0, ),圓心Q在線段OF平分線y= 上,

因?yàn)閽佄锞C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=﹣ ,

所以 ,即p=1,

因此拋物線C的方程x2=2y.


(2)解:假設(shè)存在點(diǎn)M(x0 ),(x0>0)滿足條件,

拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為

y′ = =x0

令y= 得, ,

所以Q( ),

又|QM|=|OQ|,

,

因此 .又x0>0.

所以x0= ,此時(shí)M( ).

故存在點(diǎn)M( ),使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M.


(3)解:當(dāng)x0= 時(shí),由(Ⅱ)的Q( ),⊙Q的半徑為:r= =

所以⊙Q的方程為

,整理得2x2﹣4kx﹣1=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于△=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=﹣ ,

所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x22﹣4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).

,整理得(1+k2)x2

設(shè)D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x3,y3),(x4,y4),

由于△= >0,x3+x4= ,x3x4=

所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x42﹣4x3x4]= ,

因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+

令1+k2=t,由于△=16k2+8>0 ,

≤k≤2,∴t≥

,

所以|AB|2+|DE|2=t(4t﹣2)+ =4t2﹣2t+

設(shè)g(t)=4t2﹣2t+ ,t ,因?yàn)間′(t)=8t﹣2﹣ ,

所以當(dāng)t ,g′(t)≥g′( )=6,

即函數(shù)g(t)在t 是增函數(shù),所以當(dāng)t= 時(shí),g(t)取最小值

因此當(dāng)k= 時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值為


【解析】(1)通過(guò)F(0, ),圓心Q在線段OF平分線y= 上,推出求出p=1,推出拋物線C的方程.(2)假設(shè)存在點(diǎn)M(x0 ),(x0/span>>0)滿足條件,拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出Q的坐標(biāo),利用|QM|=|OQ|,求出M( ).使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M.(3)當(dāng)x0= 時(shí),求出⊙Q的方程為.利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),利用韋達(dá)定理,求出|AB|2 . 同理求出|DE|2 , 通過(guò)|AB|2+|DE|2的表達(dá)式,通過(guò)換元,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某共享單車企業(yè)在城市就“一天中一輛單車的平均成本與租用單車數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行了調(diào)查,并將相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表:

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員設(shè)計(jì)了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個(gè)擬合函數(shù):

模型甲:,模型乙:.

(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1元)(備注:,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差);

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過(guò)比較的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

(2)這家企業(yè)在4城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應(yīng)求,于是該企業(yè)決定增加單車投放量.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,市場(chǎng)投放量達(dá)到1萬(wàn)輛時(shí),平均每輛單車一天能收入7.2元;市場(chǎng)投放量達(dá)到1.2萬(wàn)輛時(shí),平均每輛單車一天能收入6.8元.若按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,問(wèn)該企業(yè)投放量選擇1萬(wàn)輛還是1.2萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.(利潤(rùn)收入成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問(wèn)50名職工,根據(jù)這50名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

1)求頻率分布直方圖中的值;

2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率;

3)從評(píng)分在的受訪職工中,隨機(jī)抽取2人,求此2人評(píng)分都在的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后,班級(jí)學(xué)委對(duì)選答題的選題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如下表:

幾何證

明選講

極坐標(biāo)與

參數(shù)方程

不等式

選講

合計(jì)

男同學(xué)

12

4

6

22

女同學(xué)

0

8

12

20

合計(jì)

12

12

18

42

(1)在統(tǒng)計(jì)結(jié)果中,如果把幾何證明選講和極坐標(biāo)與參數(shù)方程稱為“幾何類”,把不等式選講稱為“代數(shù)類”,我們可以得到如下2×2列聯(lián)表.

幾何類

代數(shù)類

合計(jì)

男同學(xué)

16

6

22

女同學(xué)

8

12

20

合計(jì)

24

18

42

能否認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān),若有關(guān),你有多大的把握?

(2)在原始統(tǒng)計(jì)結(jié)果中,如果不考慮性別因素,按分層抽樣的方法從選做不同選答題的同學(xué)中隨機(jī)選出7名同學(xué)進(jìn)行座談.已知這名學(xué)委和2名數(shù)學(xué)課代表都在選做“不等式選講”的同學(xué)中.

①求在這名學(xué)委被選中的條件下,2名數(shù)學(xué)課代表也被選中的概率;

②記抽取到數(shù)學(xué)課代表的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望

下面臨界值表僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓 的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線AP與BP的斜率之積為 ,求橢圓的離心率;
(2)若|AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足|k|>

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:

甲說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”;

乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;

丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;

丁說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別為(萬(wàn)元),它們與投入資金(萬(wàn)元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式,.今將120萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投資金額都不低于20萬(wàn)元.

(Ⅰ)設(shè)對(duì)乙產(chǎn)品投入資金萬(wàn)元,求總利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

(Ⅱ)如何分配使用資金,才能使所得總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,,的中點(diǎn).

(1)證明:平面;

(2)若點(diǎn)在棱上,且,求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了16月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

晝夜溫差

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)(個(gè))

22

25

29

26

16

12

該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(Ⅰ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2月至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程x;

(Ⅱ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(wèn)該小組所得線性回歸方程是否理想.

附:(參考數(shù)據(jù)

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