【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,△PAD為正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E為棱PB的中點(diǎn)
(1)求證:平面PAB⊥平面CDE;
(2)若AD=CD=2,求點(diǎn)P到平面ADE的距離.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)要證明面面垂直,需證明線面垂直,取AP的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,DF,根據(jù)題中所給的條件證明,即證明平面;
(2)利用等體積,根據(jù)所給的條件,易求,點(diǎn)到平面的距離就是,并且根據(jù)點(diǎn),線,面的關(guān)系和邊長(zhǎng)求的面積.
證明:(1)取AP的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,DF,
∵E是PB中點(diǎn),∴EF∥AB,EF=AB,
又CD∥AB,CD=AB, ∴CD∥EF,CD=EF
∴四邊形CDEF為平行四邊形,
∴DF∥CE,
又△PAD 為正三角形,
∴PA⊥DF,從而PA⊥CE,
又PA⊥CD,CD∩CE=C,
∴PA⊥平面CDE,
又PA平面PAB,
∴平面PAB⊥平面CDE.
⑵∵AB∥CD,AB⊥AD,
∴CD⊥AD,
又PA⊥CD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
又(1)知,CD∥EF,∴EF⊥平面PAD,
∴EF為三棱錐的E﹣PAD的高,且EF=CD=2,
易得△PAD的面積S△PAD=×22=,
在Rt△PAB中,PB=2,AE=PB=,
在矩形CDEF中,CD=2,CE=DF=,∴DE=
在△ADE中,AE=,DE=,AD=2,
∴△ADE的面積,
設(shè)點(diǎn)P到平面ADE的距離為d,由VP﹣ADE=VE﹣PAD得
××2=×d,
解得d= ∴點(diǎn)P到平面ADE的距離為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在平面四邊形ABCD中,AC是BD的垂直平分線,垂足為E,AB中點(diǎn)為F,,,,沿BD將折起,使C至位置,如圖(2).
(1)求證:;
(2)當(dāng)平面平面ABD時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體有8個(gè)不同頂點(diǎn),現(xiàn)任意選擇其中4個(gè)不同頂點(diǎn),然后將它們兩兩相連,可組成平面圖形成空間幾何體.在組成的空間幾何體中,可以是下列空間幾何體中的________.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))
①每個(gè)面都是直角三角形的四面體;
②每個(gè)面都是等邊三角形的四面體;
③每個(gè)面都是全等的直角三角形的四面體;
④有三個(gè)面為等腰直角三角形,有一個(gè)面為等邊三角形的四面體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定無窮數(shù)列,若無窮數(shù)列滿足:對(duì)任意,都有,則稱與“接近”.
(1)設(shè)是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,,,判斷數(shù)列是否與接近,并說明理由;
(2)已知是公差為的等差數(shù)列,若存在數(shù)列滿足:與接近,且在這100個(gè)值中,至少有一半是正數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點(diǎn),其傾斜角為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸為非負(fù)半軸為極軸,與坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若直線與曲線有公共點(diǎn),求傾斜角的取值范圍;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,滿足:對(duì)于任意正整數(shù)n,當(dāng)n≥2時(shí),.
(1)若,求的值;
(2)若,,且數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù).
① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 是否存在,且,使得為數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 則: (1)曲線的斜率為的切線方程為__________;
(2)設(shè),記在區(qū)間上的最大值為.當(dāng)最小時(shí),的值為__________.
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