Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx+a．
（1）設h（x）=xf（x），求h（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）與y=g（x）僅有一個交點P，證明：曲線y=f（x）與y=g（x）在點P處有相同的切線，且$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出h'（x）=（x+1）e^x，利用導數(shù)性質(zhì)能求出x=-1時，h（x）取得最小值$-\frac{1}{e}$．
（2）設t（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-a，則$t'（x）={e^x}-\frac{1}{x}=\frac{{x{e^x}-1}}{x}（{x＞0}）$，推導出存在${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$使得T（x₀）=0，求出t（x））的最小值為$t（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-a=0$，由此能證明曲線y=f（x）與y=g（x）在P點處有相同的切線，并能求出$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x，∴h（x）=xf（x）=xe^x，
∴h'（x）=（x+1）e^x，
當x＜-1時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x＞-1時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
故x=-1時，h（x）取得最小值$-\frac{1}{e}$．
證明：（2）∵g（x）=lnx+a．
∴設t（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-a，則$t'（x）={e^x}-\frac{1}{x}=\frac{{x{e^x}-1}}{x}（{x＞0}）$，
由（1）得T（x）=xe^x-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，又$T（{\frac{1}{2}}）＜0$，T（1）＞0，
∴存在${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$使得T（x₀）=0，
∴當x∈（0，x₀）時，t'（x）＜0，t（x）單調(diào)遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，t'（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增，
∴t（x））的最小值為$t（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-a=0$，
由T（x₀）=0得${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，
∴曲線y=f（x）與y=g（x）在P點處有相同的切線，
又$a={e^{x_0}}-ln{x_0}$，∴$a=\frac{1}{x_0}+{x_0}$，
∵${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，∴$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$．

點評 本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查曲線y=f（x）與y=g（x）在點P處有相同的切線，且$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$的證明，考查導數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．