已知點,是常數(shù)),且動點軸的距離比到點的距離小.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)(i)已知點,若曲線上存在不同兩點、滿足,求實數(shù)的取值范圍;
(ii)當(dāng)時,拋物線上是否存在異于、的點,使得經(jīng)過、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線,若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

(1)動點的軌跡的方程為;(2)(i)實數(shù)的取值范圍是;
(ii)詳見解析.

解析試題分析:(1)首先由題意得到動點到直線和動點到點的距離相等,從而得到動點的軌跡是以點為焦點,以直線為準(zhǔn)線的拋物線,從而求出軌跡的方程;(2)(i)先由得到點為線段的中點,并設(shè)點,從而得到,并設(shè)直線的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合與韋達(dá)定理在中消去,從而求解參數(shù)的取值范圍;(ii)先假設(shè)點存在,先利用(i)中的條件求出點、兩點的坐標(biāo),并設(shè)點的坐標(biāo)為,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為,利用、、三點為圓上的點,得到,利用兩點間的距離公式得到方程組,在方程組得到、的關(guān)系式,然后利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點的切線的斜率,利用切線與圓的半徑垂直,得到兩直線斜率之間的關(guān)系,進(jìn)而求出的值,從而求出點的坐標(biāo).
試題解析:(1);
(2)(i)設(shè)兩點的坐標(biāo)為,且
,可得的中點,即
顯然直線軸不垂直,設(shè)直線的方程為,即
代入中,得.      2分 
 ∴. 故的取值范圍為
(ii)當(dāng)時,由(i)求得,的坐標(biāo)分別為
假設(shè)拋物線上存在點),使得經(jīng)過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線.設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為

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如圖,過點的兩直線與拋物線相切于A、B兩點, AD、BC垂直于直線,垂足分別為D、C.

(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.

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已知橢圓C的中心在原點,焦點在軸上,焦距為2,離心率為
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(1)求動點P的軌跡方程;
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設(shè)橢圓的左、右焦點分別是、,下頂點為,線段的中點為為坐標(biāo)原點),如圖.若拋物線軸的交點為,且經(jīng)過兩點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),為拋物線上的一動點,過點作拋物線的切線交橢圓兩點,求面積的最大值.

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