在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(1);(2)存在,且點的坐標(biāo)為.

解析試題分析:(1)本題只要直接設(shè)出動點的坐標(biāo)為,用表示出已知條件,即可求出所求軌跡方程;(2)此問題存在性問題,解決的方法是假設(shè)這個點存在,然后根據(jù)已知條件去求這個點,若能求出,則存在,若求不出,則不存在在.即設(shè)存在題設(shè)的點,其坐標(biāo)為,然后求出的坐標(biāo),進(jìn)而求出,令,求.當(dāng)然考慮到△PAB與△PMN有一對對頂角,也可這樣求三角形的面積:,,由于,所以由,得,也即,這個式子可很快求出
試題解析:(1)解:因為點B與A關(guān)于原點對稱,所以點得坐標(biāo)為
設(shè)點的坐標(biāo)為由題意得 ,化簡得:.
故動點的軌跡方程為:             4分
(2)解法一:設(shè)點P的坐標(biāo)為,點M,N的坐標(biāo)為,
則直線AP的方程為,直線BP的方程為
,得,
于是的面積是
又直線AB的方程為,,點P到直線AB的距離,
于是的面積
當(dāng)時,,
,∴,解得
,∴,
故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時P點坐標(biāo)為
解法二:若存在點使得的面積相等,設(shè)點的坐標(biāo)為
.
因為, 所以
所以 即,解得
因為,所以故存在點

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某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、是過拋物線焦點的兩條弦,且其焦點,,點軸上一點,記,其中為銳角.

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(1)求橢圓的方程;
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面積的取值范圍.

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