Question

已知

OA

=（4，0），

0B

=（2，2

3

），

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

（λ²≠λ）
（1）證明A，B，C三點(diǎn)共線，并在

AB

=

BC

時(shí)，λ的值；
（2）求|

OC

|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

得

AC

=λ

AB

，即可證明A，B，C三點(diǎn)共線，再由向量相等、向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出λ的值；
（2）先由坐標(biāo)運(yùn)算求出

OC

的坐標(biāo)，代入向量模的公式配方后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出|

OC

|的最小值．

解答： 證明：（1）因?yàn)?span id="2mazkay" class="MathJye">

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

=

OA

-λ

OA

+λ

OB

，
所以

OC

-

OA

=λ（

OB

-

OA

），則

AC

=λ

AB

，
所以A，B，C三點(diǎn)共線，
由

OA

=（4，0），

0B

=（2，2

3

），

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

得，

AB

=（-2，2

3

），

BC

=

OC

-

0B

=（2-2λ，2

3

λ-2

3

），
因?yàn)?span id="kdhogii" class="MathJye">

AB

=

BC

，所以

-2=2-2λ 2 3 =2 3 λ-2 3

，解得λ=2；
解：（2）因?yàn)?span id="iz6edxm" class="MathJye">

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

=（1-λ）（4，0）+λ（2，2

3

）=（4-2λ，2

3

λ），
所以|

OC

|=

(4-2λ)2+12λ2

=4

λ2-λ+1

=4

(λ- 1 2 )2+ 3 4

≥2

3

，
故|

OC

|的最小值是2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量共線的條件證明三點(diǎn)共線，由向量相等、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、加減運(yùn)算，以及向量模的最值問(wèn)題，考查函數(shù)思想、方程思想，化簡(jiǎn)計(jì)算能力．