Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx+ax（a≠0），g（x）=${∫}_{0}^{x}$2tdt，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）．
（1）試討論F（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，-e²≤F（x）≤1-e在x∈[1，e]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由題意得：g（x）=${∫}_{0}^{x}$2tdt=x²，
∴F（x）=g（x）-f（x）=x²-a²lnx-ax（x＞0），
F′（x）=2x-$\frac{{a}^{2}}{x}$-a=$\frac{（x-a）（2x+a）}{x}$，
a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，F(xiàn)（x）＜0，x∈（a，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，a）遞減，在區(qū)間（a，+∞）遞增；
a＜0時(shí)，x∈（0，-$\frac{a}{2}$）時(shí)，F(xiàn)（x）＜0，x∈（-$\frac{a}{2}$，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）遞增，
綜上，a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
a＜0時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，-$\frac{a}{2}$）遞減，在區(qū)間（-$\frac{a}{2}$，+∞）遞增；
（2）由題意得F（1）=g（1）-f（1）=1-a≤1-e，即a≥e，
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）得F（x）在[1，e]內(nèi)遞減，
故要使-e²≤F（x）≤1-e在x∈[1，e]恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{F（1）≤1-e}\\{F（e）≥{-e}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a≤1-e}\\{{e}^{2}{-a}^{2}ae≥{-e}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥e}\\{a≤e}\end{array}\right.$，即a=e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)公式以及運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)求最值、求參數(shù)范圍．