Question

17．近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國．某選拔賽后，隨機抽取100名選手的成績，按成績由低到高依次分為第1，2，3，4，5組，制成頻率分布直方圖如圖所示：
（Ⅰ）在第3、4、5組中用分層抽樣抽取5名選手，求第3、4、5組每組各抽取多少名選手；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，在5名選手中隨機抽取2名選手，求第4組至少有一名選手被抽取的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出第3，4，5組的頻數(shù)，然后根據(jù)分層抽樣中抽取的比例相等求出三組所抽取的人數(shù)；
（Ⅱ）利用列舉法列出在5名選手中隨機抽取2名選手的所有方法種數(shù)，查出第4組至少有一名選手被抽取的種數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖易知第3組的頻率為0.04×（175-170）=0.2，從而第3組的頻數(shù)為100×0.2=20，
同理可得第4、5組的頻數(shù)分別為20、10，所以第3、4、5組共有50名選手．
利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手，每組抽取的人數(shù)分別為：
第3組：$\frac{20}{50}$×5=2人，第4組：$\frac{20}{50}$×5=2人，第5組：$\frac{10}{50}$×5=1人，
所以第3、4、5組分別抽取2人、2人、1人．
（Ⅱ）設第3組的2位選手為A，B，第4組的2位選手為C，D，第5組的1位選手為E，則從這五位選手中抽取兩位選手有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10種．
其中第4組的2位選手C，D中至少有一位選手入選的有：AC，BC，AD，BD，CD，CE，DE共有7種，
所以第4組至少有一名選手的概率為$\frac{7}{10}$

點評 本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵是正確列出在5名學生中隨機抽取2名學生的所有情況，屬中檔題．