10.已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A,B,C.
(1)設(shè)$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$,判斷△ABC的形狀;
(2)設(shè)向量$\overrightarrow s=(2sinC,-\sqrt{3})$,$\overrightarrow t=(cos2C,2{cos^2}\frac{C}{2}-1)$,且$\overrightarrow s∥\overrightarrow t$,若$sinA=\frac{1}{3}$,求$sin(\frac{π}{3}-B)$的值.

分析 (1)因?yàn)?\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$,所以$\overrightarrow{CA}•(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})=0$,利用向量的線性運(yùn)算可得所以${\overrightarrow{AB}^2}-{\overrightarrow{BC}^2}=0$即可得到三角形為等腰三角形;
(2)因?yàn)?\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$化簡可得到tan2C=-$\sqrt{3}$,求出C角,充分利用角之間關(guān)系以及三角函數(shù)化簡,
即可求出sin($\frac{π}{3}$-B);

解答 解:(1)因?yàn)?\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$,所以$\overrightarrow{CA}•(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})=0$,
又$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow 0$,∴$\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$,
所以$-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})•(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})=0$,
所以${\overrightarrow{AB}^2}-{\overrightarrow{BC}^2}=0$,
所以$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{BC}{|^2}$,即$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$,
故△ABC為等腰三角形.
(2)∵$\overrightarrow s∥\overrightarrow t$,
∴$2sinC(2{cos^2}\frac{C}{2}-1)=-\sqrt{3}cos2C$,
∴$sin2C=-\sqrt{3}cos2C$,即$tan2C=-\sqrt{3}$,
∵C為銳角,∴2C∈(0,π),
∴$2C=\frac{2π}{3}$,∴$C=\frac{π}{3}$,
∴$A=\frac{2π}{3}-B$,
∴$sin(\frac{π}{3}-B)=sin[{(\frac{2π}{3}-B)-\frac{π}{3}}]$=$sin(A-\frac{π}{3})$,
又$sinA=\frac{1}{3}$,且A為銳角,
∴$cosA=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$,
∴$sin(\frac{π}{3}-B)=sin(A-\frac{π}{3})=sinAcos\frac{π}{3}-cosAsin\frac{π}{3}=\frac{{1-2\sqrt{6}}}{6}$.

點(diǎn)評 本題主要考查了向量的基本線性運(yùn)算,三角函數(shù)化簡與解三角形知識點(diǎn),屬中等題.

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