分析 (1)分類討論,利用圓心C(4,3)到已知直線l的距離等于半徑2,即可求l的方程;
(2)若l與圓C交于M,N兩點(diǎn),求△CMN面積,利用配方法求出最大值,即可求此時(shí)l的直線方程.
解答 解:(1)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-4)2+(y-3)2=4,∴圓心C(4,3),半徑r=2.
①若直線l的斜率不存在,則直線 x=2,符合題意.
②若直線l的斜率存在,設(shè)直線l:y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
∵l與圓C相切,∴圓心C(4,3)到已知直線l的距離等于半徑2,即$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$,解得$k=\frac{3}{4}$.
綜上,所求直線方程為x=2或3x-4y-10=0.
(2)直線與圓相交,斜率必定存在,設(shè)直線方程為kx-y-2k-1=0,則圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$,
又∵△CMN面積$S=\frac{1}{2}•d•2\sqrt{4-{d^2}}=\sqrt{4{d^2}-{d^4}}=\sqrt{-{{({{d^2}-2})}^2}+4}$,
∴當(dāng)$d=\sqrt{2}$時(shí),Smax=2,
由$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$,解得k=1或k=7,
∴直線方程為x-y-3=0或7x-y-15=0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式,體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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A. | 充分而不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | f(x)=$\root{3}{{x}^{3}}$與$g(x)=\sqrt{x^2}$ | B. | f(x)=|x|與$g(x)={({\sqrt{x}})^2}$ | ||
C. | $f(x)=\sqrt{1-x}×\sqrt{1+x}$與$g(x)=\sqrt{1-{x^2}}$ | D. | f(x)=x0與g(x)=1 |
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