Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx+1，若其導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{1}{2}$對(duì)稱，且x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；   
（2）若方程f（x）-k=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）清楚函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性以及極值點(diǎn)，列出方程組求解即可．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點(diǎn)，求出合適的極值，然后求解即可．

解答 解：（1）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f'（x）=6x²+2ax+b，           （1分）
因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{1}{2}$對(duì)稱，且x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}{12}=-\frac{1}{2}\\ 6+2a+b=0\end{array}\right.$     （4分）   
 解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-12\end{array}\right.$，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意       （5分）
（2）由（1）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
令f'（x）=6x²+6x-12=0，解得x₁=-2，x₂=1，               （7分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	21	單調(diào)遞減	-6	單調(diào)遞增

從而函數(shù)f（x）在x₁=-2處取得極大值為21，在x₂=1處取得極小值為-6，       （10分）
因?yàn)榉匠蘤（x）-k=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）圖象與y=k的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
∴-6＜k＜21，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-6，21）．                （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．