Question

1．已知f（x）=|2x-1|+x+$\frac{1}{2}$的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，求證：2（a³+b³+c³）≥ab+bc+ca-3abc．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，去掉絕對(duì)值，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值；
（2）由a+b+c=1，先證a³+b³≥a²b+b²a，由作差法可得，即有a³+b³≥ab-abc，同理可得b³+c³≥bc-abc，c³+a³≥ca-abc，累加即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=3x-$\frac{1}{2}$遞增，且f（x）≥$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1；
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{3}{2}$-x遞減，且f（x）＞$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1；
綜上可得x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值1，即m=1；
（2）證明：a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，
由a³+b³-a²b-b²a=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a+b）（a-b）²≥0，
即有a³+b³-a²b-b²a≥0，即a³+b³≥a²b+b²a=ab（a+b）=ab（1-c）=ab-abc，
可得a³+b³≥ab-abc，
同理可得b³+c³≥bc-abc，
c³+a³≥ca-abc，
上面三式相加可得，2（a³+b³+c³）≥ab+bc+ca-3abc，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，注意運(yùn)用累加法和綜合法，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．