Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$E（\sqrt{3}，1）$，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0）與點(diǎn)P的垂直平分線(xiàn)交y軸于點(diǎn)B，求|OB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）離心率為$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，可得${c^2}=\frac{2}{3}{a^2}$，故${b^2}=\frac{1}{3}{a^2}$，橢圓C為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3}{a^2}}}=1$，把點(diǎn)$E（\sqrt{3}，1）$代入橢圓方程，解出即可得出．
（Ⅱ）由題意，直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：線(xiàn)段AP的中點(diǎn)D坐標(biāo)，由點(diǎn)A（3，0）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，得直線(xiàn)l⊥AP，可得直線(xiàn)l的斜率為-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，利用直線(xiàn)l的方程可得B，又$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，得${x}_{0}^{2}$=6-3${y}_{0}^{2}$，可得|OB|，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）離心率為$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴${c^2}=\frac{2}{3}{a^2}$，故${b^2}=\frac{1}{3}{a^2}$，
橢圓C為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3}{a^2}}}=1$，
把點(diǎn)$E（\sqrt{3}，1）$代入得a²=6，b²=2，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（5分）
（Ⅱ）由題意，直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則線(xiàn)段AP的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（\frac{{x}_{0}+3}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，且直線(xiàn)AP的斜率k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，…（7分）
由點(diǎn)A（3，0）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，得直線(xiàn)l⊥AP，
故直線(xiàn)l的斜率為-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，且過(guò)點(diǎn)D，
所以直線(xiàn)l的方程為：$y-\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$$（x-\frac{{x}_{0}+3}{2}）$，…（9分）
令x=0，得y=$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，則B$（0，\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}）$，
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，得${x}_{0}^{2}$=6-3${y}_{0}^{2}$，化簡(jiǎn)，得B$（0，\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}）$．…（11分）
所以|OB|=$|\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}|$=|y₀|+$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$≥2$\sqrt{|{y}_{0}|•\frac{3}{2|{y}_{0}|}}$=$\sqrt{6}$．…（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)|y₀|=$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$，即y₀=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$時(shí)等號(hào)成立．
所以|OB|的最小值為$\sqrt{6}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．