Question

13．已知函數(shù)f（x）=（2x+1）e^x+1+mx，若有且僅有兩個整數(shù)使得f（x）≤0．則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{3}{2}，-\frac{3}{2e}}）$
• B． $[{-\frac{3}{2e}，-\frac{5}{{3{e^2}}}}）$
• C． $[{-\frac{3}{2}，-\frac{5}{{3{e^2}}}}）$
• D． $[{-2e，-\frac{3}{2e}}）$

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為mx≤-（2x+1）e^x+1，設g（x）=mx，h（x）=-（2x+1）e^x+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：依題意由f（x）≤0，得（2x+1）e^x+1+mx≤0，即mx≤-（2x+1）e^x+1．
設g（x）=mx，h（x）=-（2x+1）e^x+1，
則h'（x）=-[2e^x+1+（2x+1）e^x+1]=-（2x+3）e^x+1．
由h'（x）＞0得-（2x+3）＞0，即$x＜-\frac{3}{2}$；
由h'（x）＜0得-（2x+3）＜0，即$x＞-\frac{3}{2}$．
所以當$x=-\frac{3}{2}$時，函數(shù)h（x）取得極大值．
在同一直角坐標系中作出y=h（x），y=g（x）的大致圖象如圖所示，
當m≥0時，滿足g（x）≤h（x）的整數(shù)解超過兩個，不滿足條件．
當m＜0時，要使g（x）≤h（x）的整數(shù)解只有兩個，
則需要滿足$\left\{{\begin{array}{l}{h（{-2}）≥g（{-2}）}\\{h（{-3}）＜g（{-3}）}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3{e^{-1}}≥-2m}\\{5{e^{-2}}＜-3m}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{m≥-\frac{3}{2e}}\\{m＜-\frac{5}{{3{e^2}}}}\end{array}}\right.$，
所以$-\frac{3}{2e}≤m＜-\frac{5}{{3{e^2}}}$．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．