Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$，在區(qū)間[0，1]上的最大值是2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)，對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關系，根據(jù)二次函數(shù)的單調性求出每種情況下的f（x）的最大值2時，解出a，然后求最小值．

解答 解：（1）當$\frac{a}{2}$＜0時，即a＜0時，由f（0）=2得到a=-6，此時f（x）的最小值為f（1）=-5；
（2）當0≤$\frac{a}{2}$≤1時，即0≤a≤2時，f（$\frac{a}{2}$）=2，得到a=-2或者a=3（舍去）；此時f（x）無最小值；
（2）當$\frac{a}{2}$＞1時即a＞2時，f（1）=2得到a=$\frac{10}{3}$，此時f（x）的最小值為f（0）=$-\frac{1}{3}$；
綜上所述：當a＜0時，f（x）的最大值為-5；
當a＞2時最大值為$-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調性以及討論的數(shù)學思想；正確討論對稱軸與端點關系是解答的關鍵．