Question

10．已知p：?x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，使函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx-m有零點(diǎn)，q：函數(shù)y=$（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上單調(diào)遞減．
（1）若p∨q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由特陳命題的性質(zhì)分析可得當(dāng)0≤m≤2時(shí)，命題p為真；結(jié)合復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)m≤8時(shí)，命題q為真；結(jié)合復(fù)合命題的真假判定方法可得p∨q為假命題，即p、q同時(shí)為假命題，即有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m＞2}\\{m＞8}\end{array}\right.$，解可得m的取值范圍，即可得答案；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，分2種情況討論：①p為真q為假，②p為假q為真，分別求出m的取值范圍，綜合可得答案．

解答 解：（1）對(duì)于p：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-m，
若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，則x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則有-m≤f（x）-m≤2-m，
若函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx-m有零點(diǎn)，必有0≤m≤2，
即當(dāng)0≤m≤2時(shí)，命題p為真；
對(duì)于q：若函數(shù)y=$（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上單調(diào)遞減，必有t=2x²-mx+2在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
必有$\frac{m}{4}$≤2，解可得m≤8；
即當(dāng)m≤8時(shí)，命題q為真；
若p∨q為假命題，即p、q同時(shí)為假命題，則有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m＞2}\\{m＞8}\end{array}\right.$，解可得m＞8；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，分2種情況討論：
若p為真q為假，則有$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤2}\\{m＞8}\end{array}\right.$，解集為空集，
若p為假q為真，則有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m＞2}\\{m≤8}\end{array}\right.$，解可得2＜m≤8或m＜0；
綜合可得：m的取值范圍是2＜m≤8或m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假判定及應(yīng)用，關(guān)鍵是求出使p、q為真命題的m的取值范圍．