分析 (1)根據(jù)對數(shù)的定義可知負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù),列出關(guān)于x的不等式組,求出解集即可;要判斷函數(shù)的奇偶性即求出f(-x),判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系可得;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,從而判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;
(3)把f(x)的解析式代入到方程中利用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的定義化簡得到g(x)=0,然后在(-1,1)上取幾個特殊值-$\frac{1}{2}$,0,-$\frac{1}{4}$,代入g(x)求出值判斷任意兩個乘積的正負(fù)即可知道之間是否有根.
解答 解:(1)要使函數(shù)有意義,則 $\left\{\begin{array}{l}{1-x>0}\\{1+x>0}\end{array}\right.$,
∴-1<x<1,故函數(shù)的定義域為(-1,1)
∵f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)f(x)在(-1,1)遞減.
理由:f′(x)=$\frac{2}{(x+1)(x-1)ln2}$,
∵x+1>0,x-1<0,
故f′(x)<0,故f(x)在(-1,1)遞減;
(3)由題意知方程f(x)=x+1?log2(1-x)-log2(1+x)=x+1,
可化為(x+1)2x+1+x-1=0
設(shè)g(x)=(x+1)2x+1+x-1,x∈(-1,1)
則g(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{2}$×${2}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-1=$\frac{\sqrt{2}-3}{2}$<0,g(0)=2-1=1>0,
所以g(-$\frac{1}{2}$)g(0)<0,故方程在(-$\frac{1}{2}$,0)上必有根;
又因為g(-$\frac{1}{4}$)=$\frac{3}{4}$×${2}^{\frac{3}{4}}$-$\frac{1}{4}$-1=$\frac{\root{4}{648}-\root{4}{625}}{4}$>0,
所以g(-$\frac{1}{2}$)g(-$\frac{1}{4}$)<0,故方程在(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$)上必有一根.
所以滿足題意的一個區(qū)間為(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$).
點評 此題是一道綜合題,要求學(xué)生會求對數(shù)函數(shù)的定義域,會判斷函數(shù)的奇偶性,會判斷根的存在性和根的個數(shù).在做第三問時注意會取特殊值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{41}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 8 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 4 h | B. | 4$\frac{7}{8}$ h | C. | 4$\frac{15}{16}$ h | D. | 5 h |
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