Question

15．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}a，c}），\overrightarrow n=（{sinA，cosC}），\overrightarrow m=3\overrightarrow n$．
（1）求C；
（2）求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量條件，結(jié)合正弦定理求C；
（2）確定$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，用A表示三角形的周長，即可求△ABC周長的取值范圍．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow m=3\overrightarrow n$，則$\sqrt{3}acosC=csinA$，
由正弦定理知：$\sqrt{3}sinAcosC=sinCsinA$，所以$tanC=\sqrt{3}$，得$C=\frac{π}{3}$
（2）∵$C=\frac{π}{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a=3sinA\\ c=3cosC\end{array}\right.⇒$$c=\frac{3}{2}$，
又△ABC為銳角三角形，則$\left\{\begin{array}{l}A+C＞\frac{π}{2}\\ C＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，則$a=\sqrt{3}sinA$，$b=\sqrt{3}sinB$，所以，$a+b+c=\sqrt{3}（{sinA+sinB}）+\frac{3}{2}=\sqrt{3}[{sinA+sin（{A+\frac{π}{3}}）}]+\frac{3}{2}$，
化簡得：$a+b+c=3sin（{A+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}（{\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}}）$，
則$\frac{{3\sqrt{3}+3}}{2}＜a+b+c≤\frac{9}{2}$

點評 本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查向量、三角函數(shù)知識的運(yùn)用，屬于中檔題．