Question

3．設(shè)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足$3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{AB}$（m＞0）．若△ABP的面積為8，則△ABC的面積為14．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{PA}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{PC}$=$\frac{m}{7}$$\overrightarrow{AB}$，即有D在線段AC上，C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的$\frac{7}{4}$倍，故S_△ABC=$\frac{7}{4}$S_△ABP，結(jié)合已知中△ABP的面積為8，即可得到答案．

解答 解：由3$\overrightarrow{PA}$+4$\overrightarrow{PC}$=m$\overrightarrow{AB}$，
可得$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{PA}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{PC}$=$\frac{m}{7}$$\overrightarrow{AB}$，
可設(shè)$\overrightarrow{PD}$=$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{PA}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{PC}$，
則D，A，C共線，且D在線段AC上，
可得$\overrightarrow{PD}$=$\frac{m}{7}$$\overrightarrow{AB}$，
即有D分AC的比為4：3，
即有C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的$\frac{7}{4}$倍，
故S_△ABC=$\frac{7}{4}$S_△ABP=$\frac{7}{4}$×8=14．
故答案為：14．

點(diǎn)評 本題考查向量共線定理的運(yùn)用，以及三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用比例法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．