20.已知下列四個命題:
①函數(shù)f(x)=1og2(x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$),g(x)=sin3x+tanx均是奇函數(shù);
②函數(shù)f(x)=sin(x-$\frac{π}{4}$)的圖象的一個對稱中心是(-$\frac{3π}{4}$,0);
③若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱圖形,且滿足f(4-x)=f(x),那么f(2012)=f(2013);
④函數(shù)f(x)=1gx-cosx恰有3個零點.
其中正確命題的序號是①②④.

分析 ①,f(x)+f(-x)=1og2(x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)+1og2(-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)=0,g(x)+g(-x)=sin3x+tanx+sin3(-x)+tan(-x);
②,f(-$\frac{3π}{4}$)=sin(-π)=0,∴(-$\frac{3π}{4}$,0)是f(x)圖象的一個對稱中心;
③,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱圖形,∴f(2-x)=-f(x),且f(4-x)=f(x)⇒f(4-x)=-f(2-x)⇒T=4⇒
f(2012)=f(0),f(2013)=f(1),∴f(2-x)=-f(x)∴,∴f(2-1)=-f(1)⇒f(1)=0,f(0)不能確定;
④,函數(shù)f(x)=1gx-cosx零點個數(shù)相當于函數(shù)g(x)=1gx與h(x)=-cosx,在同一坐標系中畫出兩函數(shù)圖象即可.

解答 解:對于①,∵f(x)+f(-x)=1og2(x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)+1og2(-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)=0,g(x)+g(-x)=sin3x+tanx+sin3(-x)+tan(-x)=0均是奇函數(shù),故正確;
對于②,f(-$\frac{3π}{4}$)=sin(-π)=0,∴(-$\frac{3π}{4}$,0)是f(x)圖象的一個對稱中心,故正確;
對于③,∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱圖形,∴f(2-x)=-f(x),
且f(4-x)=f(x)⇒f(4-x)=-f(2-x)⇒T=4⇒
f(2012)=f(0),f(2013)=f(1),∴f(2-x)=-f(x)∴,∴f(2-1)=-f(1)⇒f(1)=0,f(0)不能確定,故錯;
對于④,函數(shù)f(x)=1gx-cosx零點個數(shù)相當于函數(shù)g(x)=1gx與h(x)=-cosx,在同一坐標系中畫出兩函數(shù)圖象,可知有三個交點,故正確.
故答案為:①②④

點評 本題考查了命題真假的判定,涉及到了函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.

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序號1234567891011121314151617181920
數(shù)學(xué)9575809492656784987167936478779057927293
物理9063729291715891938177824891699661847893
規(guī)定:數(shù)學(xué)、物理成績90分(含90分)以上為優(yōu)秀.
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優(yōu)秀不優(yōu)秀合計
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