Question

1．已知奇函數f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定義域為[-a-2，b]
（1）求實數a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義給出證明；
（3）若實數m滿足f（m-1）＜f（1-2m），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性求出a，b的值即可；（2）根據函數單調性的定義證明即可；（3）根據函數的單調性以及函數的定義域得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 （1）∵f（x）是奇函數，故f（0）=0，
即a-1=0，解得：a=1，故-a-2=-3，
定義域為[-a-2，b]，關于原點對稱，
故b=3；
（2）函數f（x）在[-3，3]遞增，
證明如下：設x₁，x₂是[-3，3]上的任意2個值，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{{2}^{{x}_{1}}-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵-3≤x₁＜x₂≤3，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，又${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-3，3]遞增；
（3）由（1）得f（x）在[-3，3]遞增，
∴f（m-1）＜f（1-2m）等價于：
$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m-1≤3}\\{-3≤1-2m≤3}\\{m-1＜1-2m}\end{array}\right.$，解得：-1≤m＜$\frac{2}{3}$，
故不等式的解集是[-1，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查函數的奇偶性以及單調性的證明，是一道中檔題．