Question

2．已知無窮數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₂=2，對任意n∈N^*，有a_n+2=a_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），若數(shù)列$\{\frac{{{b_{2n}}}}{a_n}\}$中的任意一項都在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，則滿足要求的b₁的值為2．

Answer 1

分析 依題意數(shù)列{a_n}是周期數(shù)咧，則可寫出數(shù)列{a_n}的通項，由數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），可推出b_n+1-b_n=a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n為奇數(shù)}\\{2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$⇒$\frac{_{2}}{{a}_{1}}=_{2}$，$\frac{_{4}}{{a}_{2}}=\frac{_{4}}{2}$，$\frac{_{6}}{{a}_{3}}=_{6}$，$\frac{_{8}}{{a}_{4}}=\frac{_{8}}{2}$，…要使數(shù)列$\{\frac{{{b_{2n}}}}{a_n}\}$中的任意一項都在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，則b₂=b₆=b₁₀=…=b_2n-1，b₄=b₈=b₁₂=…=b_4n，可得b₈=b₄=3即可，

解答 解：a₁=1，a₂=2，對任意n∈N^*，有a_n+2=a_n，
∴a₃=a₁=1，a₄=a₂=2，a₅=a₃=a₁=1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n為奇數(shù)}\\{2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$
∴b_n+1-b_n=a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n為奇數(shù)}\\{2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴b_2n+2-b_2n+1=a_2n+1=1，b_2n+1-b_2n=a_2n=2，
∴b_2n+2-b_2n=3，b_2n+1-b_2n-1=3
∴b₃-b₁=b₅-b₃=…=b_2n+1-b_2n-1=3，
b₄-b₂=b₆-b₄=b₈-b₆=…=b_2n-b_2n-2=3，b₂-b₁=1，
$\frac{_{2}}{{a}_{1}}=_{2}$，$\frac{_{4}}{{a}_{2}}=\frac{_{4}}{2}$，$\frac{_{6}}{{a}_{3}}=_{6}$，$\frac{_{8}}{{a}_{4}}=\frac{_{8}}{2}$，…，$\frac{_{4n-2}}{{a}_{2n-1}}$=b_4n-2，$\frac{_{4n}}{{a}_{2n}}=\frac{_{4n}}{2}$，
∵數(shù)列$\{\frac{{{b_{2n}}}}{a_n}\}$中的任意一項都在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，
∴b₂=b₆=b₁₀=…=b_4n-2，
b₄=b₈=b₁₂=…=b_4n，
解得b₈=b₄=3，
b₂=3，∵b₂-b₁=1，∴b₁=2，
故答案為：2

點評 本題考查了數(shù)列的推理與證明，屬于難題．