Question

16．如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．
（1）求異面直線EF與BC所成角的大小；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為$\frac{1}{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）延長AD，F(xiàn)E交于Q，根據(jù)異面直線夾角的定義，根據(jù)BC∥AD，得∠AQF是異面直線EF與BC所成的角，解△AQF可得答案．
（2）取AF的中點G，過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，可證得∠DHG為二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．

解答 解：（1）延長AD，F(xiàn)E交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即異面直線EF與BC所成角為30°…（7分）
（2）設(shè)AB=x．取AF的中點G．由題意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，
∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，
∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=$\sqrt{3}$．
在直角△BAF中，由$\frac{AB}{BF}$sin∠AFB=$\frac{GH}{FG}$，得GH=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$．
在直角△DGH中，DG=$\sqrt{3}$，GH=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$．得
DH=2$\sqrt{\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}+4}}$．
∵cos∠DHG=$\frac{GH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，得x=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．…（15分）

點評 本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中（1）的關(guān)鍵是利用平移求出異面直線夾角的幾何角，（2）中幾何的關(guān)鍵是找出二面角的平面角．