Question

9．設(shè)$\overrightarrow a=（sinx-1\;，\;\;cosx-1）$，$\overrightarrow b=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\;，\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
（1）若$\overrightarrow a$為單位向量，求x的值；
（2）設(shè)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，則函數(shù)y=f（x）的圖象如何由y=sinx圖象得到？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow a$為單位向量，求得sinx+cosx=1，即sinx=1或cosx=1，可得x的值．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積公式，求得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)$\overrightarrow a=（sinx-1\;，\;\;cosx-1）$，$\overrightarrow b=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\;，\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$為單位向量，
∴（sinx-1）²+（cosx-1）²=1，求得sinx+cosx=1，∴sinx=1或cosx=1，
∴x=2kπ+$\frac{π}{2}$，或x=2kπ，k∈Z．
（2）∵$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$，
則函數(shù)y=f（x）的圖象如何由y=sinx圖象先向左平移$\frac{π}{4}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
再想下平移$\sqrt{2}$個單位，可得函數(shù)y=f（x）的圖象．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．