17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}(t為參數(shù))}\right.$,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的方程是$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$;
(Ⅰ)若m=0,在曲線C上確定一點M,使得它到直線l的距離最小,并求出最小值;
(Ⅱ)設(shè)P(m,2)且m>1,直線l與曲線C相交于A,B兩點,$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,求m的值.

分析 (Ⅰ)求出曲線C的普通方程,設(shè)直線方程為y=$\sqrt{3}x$+b,代入拋物線方程,可得3x2+(2$\sqrt{3}$b-4)x+b2=0,利用△=0,可得M的坐標(biāo),即可得出結(jié)論;
(Ⅱ)利用參數(shù)的幾何意義,結(jié)合條件,即可求m的值.

解答 解:(Ⅰ)由曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$,即ρ(1-cos2θ)=8cosθ,化為ρ2•2sin2θ=8ρcosθ,∴y2=4x.
m=0,直線方程為y=$\sqrt{3}x$+2
設(shè)直線方程為y=$\sqrt{3}x$+b,代入拋物線方程,可得3x2+(2$\sqrt{3}$b-4)x+b2=0,
△=(2$\sqrt{3}$b-4)2-12b2=0,∴b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,x=$\frac{1}{3}$,y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴M($\frac{1}{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),到直線l的距離最小,最小值為$\frac{|2-\frac{\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{3+1}}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$;
(Ⅱ)直線l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}(t為參數(shù))}\right.$,代入y2=4x.可得3t2+(4$\sqrt{3}$-4)t+4-4m=0
設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,
則t1+t2=$\frac{4-4\sqrt{3}}{3}$,①t1t2=$\frac{4-4m}{3}$②,
∵$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,P(m,2)且m>1,
∴$\frac{\sqrt{(\frac{4-4\sqrt{3}}{3})^{2}-4•\frac{4-4m}{3}}}{|\frac{4-4m}{3}|}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,
∴m=-5-3$\sqrt{3}$+$\sqrt{59+36\sqrt{3}}$.

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相切問題轉(zhuǎn)化為一元二次的判別式滿足的條件,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$,$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$,則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值為-$\frac{4}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$
(1)若函數(shù)在區(qū)間(a,a+$\frac{1}{2}$)(其中a>0)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,求證:不等式f(x)>$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.拋物線x=-$\frac{1}{4}$y2的焦點坐標(biāo)是(  )
A.(-1,0)B.(0,-1)C.(-$\frac{1}{16}$,0)D.(0,-$\frac{1}{16}$)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,其中實數(shù)a為常數(shù).
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.哈三中某興趣小組為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績是否與物理成績有關(guān)系,在高二年級隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生,調(diào)查結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績較好的25人中有18人物理成績好,另外7人物理成績一般;在數(shù)學(xué)成績一般的25人中有6人物理成績好,另外19人物理成績一般.
(Ⅰ) 試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表,并運用獨立性檢驗思想,指出是否有99.9%把握認(rèn)為高中生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系.
數(shù)學(xué)成績好數(shù)學(xué)成績一般總計
物理成績好
物理成績一般
總計
(Ⅱ)  現(xiàn)將4名數(shù)學(xué)成績好且物理成績也好的學(xué)生分別編號為1,2,3,4,將4名數(shù)學(xué)成績好但物理成績一般的學(xué)生也分別編號1,2,3,4,從這兩組學(xué)生中各任選1人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流,求被選取的2名學(xué)生編號之和不大于5的概率.
附:
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積與體積比為(  )
A.$3\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.2$\sqrt{2}$+1D.$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.2016年1月1日起全國統(tǒng)一實施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對放開生育二胎政策的態(tài)度,某市選取70后80后作為調(diào)查對象,隨機(jī)調(diào)查了100位,得到數(shù)據(jù)如表:
生二胎不生二胎合計
70后301545
80后451055
合計7525100
(1)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),判斷是否有90%以上把握認(rèn)為“生二胎與年齡有關(guān)”,并說明理由:
參考數(shù)據(jù):
P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.005
k2.7022.7063.8415.0246.6357.879
(參考公式:K2=$\frac{{n{{({ac-bd})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$,其中n=a+b+c+d)
(2)以這100人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率估計概率,若從該市70后公民中(人數(shù)很多)隨機(jī)抽取3位,記其中生二胎的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知A,B是圓O:x2+y2=4上的兩個動點,P是線段A,B上的動點,當(dāng)△AOB的面積最大時,$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$的最大值為$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案