Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-ax-1（a∈R）
（ I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果，利用單調(diào)性的子集關(guān)系推出結(jié)果即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（ I）f'（x）=3x²-a---------------------（1分）
若a≤0，f'（x）=3x²-a≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增---------（4分）
若$a＞0，f'（x）＜0，x∈（{-\sqrt{\frac{a}{3}}，\sqrt{\frac{a}{3}}}），f'（x）＞0，x∈（{-∞，-\sqrt{\frac{a}{3}}}）∪（{\sqrt{\frac{a}{3}}，+∞}）$
函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為$（{-\sqrt{\frac{a}{3}}，\sqrt{\frac{a}{3}}}）$，遞增區(qū)間為$（{-∞，-\sqrt{\frac{a}{3}}}），（{\sqrt{\frac{a}{3}}，+∞}）$-------（8分）
（ II）由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，
$（{-1，1}）⊆（{-\sqrt{\frac{a}{3}}，\sqrt{\frac{a}{3}}}）∴1≤\sqrt{\frac{a}{3}}∴a≥3$---------------------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及的導(dǎo)數(shù)的求法，考查分析問題解決問題的能力．