Question

14．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），
（1）若a=3，b=2，求h（x）的極值點(diǎn)；
（2）若b=2且h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，在確定極值
（2），$h′（x）=-\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，函數(shù)h（x））存在單調(diào)遞減區(qū)間，只需h′（x）＜0有解，即當(dāng)x＞0時(shí)，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，分以下：（1）當(dāng)a＞0，（2）當(dāng)a＜0情況討論即可

解答 解：（1）∵a=3，b=2，∴$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-\frac{3}{2}{x}^{2}-2x$，
∴$h′（x）=\frac{1}{x}-3x-2=-\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}，（x＞0）$，
令h′（x）=0，則3x²+2x-1=0，x₁=-1，x${\;}_{2}=\frac{1}{3}$，
則當(dāng)0$＜x＜\frac{1}{3}$時(shí)，h′（x）＞0，則h（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上為增函數(shù)，
當(dāng)x$＞\frac{1}{3}$時(shí)，h′（x）＜0，則h（x）在（$\frac{1}{3}，+∞）$上為減函數(shù)，
則h（x）的極大值點(diǎn)為$\frac{1}{3}$；
（2）∵b=2，∴$h（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x$，∴$h′（x）=\frac{1}{x}-2x-2=-\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
∵函數(shù)h（x））存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴h′（x）＜0有解．
即當(dāng)x＞0時(shí)，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax²+2x-1為開(kāi)口向上的拋物線，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解．故a＞0符合題意；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+2x-1為開(kāi)口向下的拋物線，要y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解，
則△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一個(gè)正根，此時(shí)，-1＜a＜0'
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值，考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．