Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=g（x+1）-f（x）有極值為0，求a的值；
（2）若函數(shù)G（x）=f[cos（1-x）]+g（x-1）在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到ln$\frac{1}{a}$-1+a=0，令h（x）=x-1-lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，求出a的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為-asint+$\frac{1}{t}$≥0在t∈（0，1）上恒成立，等價(jià)于$\frac{1}{t}$≥asint，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）F（x）=ln（x+1）-ax，F(xiàn)′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，
令F′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$-1，由F（x）的極值為0，
所以F（$\frac{1}{a}$-1）=0，所以ln$\frac{1}{a}$-1+a=0，
令h（x）=x-1-lnx，h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0恒成立，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
則h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
所以h（x）在x=1時(shí)取得最小值，而h（1）=0，
所以a=1，驗(yàn)證a=1時(shí)，F(xiàn)（x）有極值為0，所以a=1．
（2）G（x）=a[cos（1-x）]+ln（x-1），G′（x）=-asin（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，
由題意知G′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，令x-1=t，
所以有-asint+$\frac{1}{t}$≥0在t∈（0，1）上恒成立，
等價(jià)于$\frac{1}{t}$≥asint，由sint＞0，所以當(dāng)a≤0，符合條件，
當(dāng)a＞0，$\frac{1}{a}$≥tsint，令P（t）=tsint，P′（t）=sint+tcost，
sint＞0，tcost＞0．則P′（t）≥0恒成立，P（x）的最大值為P（1），
所以0＜a≤sin1．
綜合以上可知a≤sin1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．